滾珠螺桿壽命怎麼算：軸向負荷、Ca 與計算實例
滾珠螺桿壽命計算用來確認螺桿在預定工況下能運轉多久，判斷尺寸是否符合設備的使用年限。疲勞壽命公式是 L = (Ca / (Fa × fw))³ × 10⁶。L 為額定疲勞壽命（rev），Ca 為基本額定動負荷（N），Fa 為軸向負荷（N），fw 為負荷係數（無單位）；換算成運轉時間為 Lt = L / (60 × n)，n 為轉速（min⁻¹）。本文的計算順序是：先算軸向負荷，再做挫曲與靜態檢查，最後代入公式。負荷估錯，後面算得再準也沒意義。公式取自 NSK 型錄 Precision Machine Components（E3162）。
文中的數字分三類，閱讀時請分開看：
- 假設條件：質量、摩擦係數、加速度、各階段負荷與轉速，是本文為了示範而設定的工況（取自型錄選型例題或本文自訂），不代表任何實機。
- 依 NSK 型錄：Ca、C0a、牙底徑 dr、挫曲係數、fw 範圍、目標壽命參考值等規格與係數。
- 計算結果：由前兩類代入公式算出的負荷、壽命與所需 Ca。
第一步：算出軸向負荷
水平搬運的軸向負荷由摩擦與加減速力組成（m 質量 kg，μ 導軌摩擦係數，α 加速度 m/s²，g = 9.80665 m/s²）：
- 加速：F1 = μ × m × g + m × α
- 等速：F2 = μ × m × g
- 減速：F3 = −μ × m × g + m × α
加速度由速度曲線決定：α = Vmax / t1。NSK 型錄例題的最高速 1,000 mm/s、加速時間 0.25 s，α = 1,000 / 0.25 = 4,000 mm/s² = 4 m/s²。
假設條件沿用型錄例題：m = 60 kg（台面 40 kg 加工件 20 kg）、μ = 0.01（滾動導軌，也就是線性滑軌、線軌或線性導軌這一類）、α = 4 m/s²。計算結果：F1 = 0.01 × 60 × 9.80665 + 60 × 4 ≈ 246 N，F2 ≈ 6 N，F3 ≈ 234 N。最大軸向負荷取 246 N。
垂直軸要加重力。以同樣 60 kg、4 m/s² 的假設條件，上升加速為 m × (g + α) ≈ 828 N，等速上升為 m × g ≈ 588 N（兩者都是計算結果）。兩者差距很大，垂直軸的負荷與馬達扭矩要依此計算。切削、壓入等外力要另外加進去。選型時容易疏漏的是只算等速負荷。最大軸向負荷要從加減速與外力等各工況中找出（本例出現在加速段），用於靜態與挫曲檢查；疲勞壽命則依各運轉階段的負荷與轉速求平均負荷，算法見下方「負荷會變動」一節。
第二步：靜態檢查，三項取最小
滾珠螺桿選型需分別確認靜態容許負荷、允許轉速與疲勞壽命，疲勞壽命公式無法取代挫曲、降伏或永久變形檢查。各項目的與適用條件如下：
| 檢查項目 | 公式（N） | 係數 |
|---|---|---|
| 挫曲負荷 P | P = m × dr⁴ / L² × 10⁴ | m：固定－固定 19.9、固定－簡支 10.0、簡支－簡支 5.0、固定－自由 1.2 |
| 拉壓降伏 P | P = 1.15 × dr² × 10² | 容許應力 147 MPa |
| 永久變形 P0 | P0 = C0a / fs | fs：一般運轉 1–2，有衝擊 1.5–3 |
dr 為牙底徑（mm），L 為支撐間距（mm），C0a 為基本靜額定負荷（N）。其中挫曲公式內已含 0.5 的安全係數。
- 挫曲：檢查細長螺桿受壓時會不會突然彎曲，只在軸向負荷為壓縮方向時成立，支撐間距長、軸徑小的螺桿最需要驗。
- 拉壓降伏：檢查牙底截面的材料應力有沒有超過容許值，各種軸徑都要過，但通常不是先到頂的那一項。
- 永久變形（靜態）：檢查靜止或低速下的最大負荷、衝擊負荷，會不會讓滾道與鋼珠接觸處留下永久壓痕，用 C0a 配合安全係數 fs 判斷。
- 疲勞壽命：前三項只確認螺桿不會當場損壞，長期反覆受力造成的滾動疲勞，才由第三步的公式處理。四項都要過，不能互相取代。
型錄例題用 ZFT4010-10（依 NSK 型錄：dr = 34.4 mm，C0a = 137,000 N），假設 L = 2,000 mm、固定－固定，計算結果：挫曲 69,600 N、降伏 136,000 N、永久變形 68,500 N（fs = 2）。取最小值，容許軸向負荷約 68,500 N。細長的絲桿常是挫曲先到頂，支撐間距越長越吃虧：挫曲負荷和 L² 成反比，L 拉長一倍，容許負荷剩四分之一。支撐方式也有影響，固定－固定的 m 值是固定－簡支的約 2 倍。
挫曲檢查在選小軸徑、長行程時最容易出事。以後面實例用的 PSS1520N1D0879（依 NSK 型錄：dr = 12.2 mm，支撐間距 804 mm，固定－固定）為例，P = 19.9 × 12.2⁴ / 804² × 10⁴ ≈ 6,820 N（計算結果）；同樣的軸如果改成固定－簡支，m 降為 10.0，挫曲負荷約 3,430 N。
重負荷加短行程（如射出成型機、沖壓機）有例外：最大軸向負荷 ≥ 0.10 × C0a 且行程 ≤ 4 轉時，實際壽命比公式短，型錄要求另行評估，請與我們聯繫，我們來幫您確認。
第三步：滾珠螺桿壽命公式
L = (Ca / (Fa × fw))³ × 10⁶
Lt = L / (60 × n)
Ls = L × l / 10⁶
| 符號 | 意義 | 單位 |
|---|---|---|
| L | 額定疲勞壽命 | rev |
| Lt | 壽命時間 | h |
| Ls | 運轉距離壽命 | km |
| Ca | 基本額定動負荷 | N |
| Fa | 軸向負荷 | N |
| n | 轉速 | min⁻¹ |
| l | 導程 | mm |
| fw | 負荷係數 | 無單位 |
Ca 是一批相同螺桿中 90% 轉過 10⁶ 轉而不剝離的軸向負荷，依 NSK 型錄尺寸表查得。fw 依工況（依 NSK 型錄）：平順無衝擊 1.0–1.2，一般運轉 1.2–1.5，有衝擊或振動 1.5–3.0。
指數是 3，所以壽命對負荷非常敏感：
| 負荷變化 | 壽命倍率 |
|---|---|
| 0.5 倍 | 8 倍 |
| 0.8 倍 | 約 1.95 倍 |
| 1.25 倍 | 約 0.51 倍 |
| 1.5 倍 | 約 0.30 倍 |
| 2 倍 | 0.125 倍 |
fw 也一樣：fw 從 1.2 改成 1.5，壽命剩約一半；改成 2.0，剩約 22%。工況有衝擊卻拿平順的 fw 去算，壽命會高估好幾倍。
NSK 型錄列的目標壽命參考值：工具機 20,000 h、自動控制與量測設備 15,000 h、一般工業機械 10,000 h。型錄同時提醒，壽命設太長會讓螺桿變大變貴，要依機器實際需求取捨。
目標壽命怎麼訂，型錄選型例題給了算法（假設條件）：每日運轉 16 小時、一年工作 250 日、使用 10 年、運轉率 0.5，Lt = 16 × 250 × 10 × 0.5 = 20,000 h。也就是說，Lt 指螺桿實際在動的時數，機台開著但螺桿停著的時間不算；間歇運轉的機台要先乘上運轉率，再拿去跟公式算出的小時數比較。同一台機器若有幾種運轉模式，先把各模式的時間比例算清楚，也是平均負荷計算的前提。
負荷會變動：用平均負荷
階段式變化時，先算平均負荷 Fm 與平均轉速 Nm：
Fm = ((F1³ × n1 × t1 + F2³ × n2 × t2 + …) / (n1 × t1 + n2 × t2 + …))^(1/3)
Nm = n1 × t1 + n2 × t2 + …（t 為各階段時間比例，合計為 1）
轉速固定、負荷在 Fmin 與 Fmax 之間線性變化時，可近似為 Fm ≈ (Fmin + 2 × Fmax) / 3。例如負荷從 200 N 線性升到 800 N，Fm ≈ (200 + 2 × 800) / 3 = 600 N，比單純取中間值 500 N 高。
Fm 用三次方加權，高負荷的階段即使時間短，也會拉高平均值。這是壽命算出來比「平均負荷直覺」短的原因。
計算實例一：變動負荷
螺桿取 NSK 型錄選型例題的 PSS1520N1D0879（依 NSK 型錄：導程 20 mm，Ca = 5,660 N，dr = 12.2 mm，支撐間距 804 mm）。下表的負荷、轉速與時間比例是本文自訂的假設條件，不來自 NSK：
| 階段（假設條件） | 軸向負荷 F (N) | 轉速 n (min⁻¹) | 時間比例 t |
|---|---|---|---|
| 1 | 800 | 1,000 | 0.2 |
| 2 | 300 | 2,000 | 0.5 |
| 3 | 1,500 | 500 | 0.3 |
- 挫曲：固定－固定，P ≈ 6,820 N，1,500 N 通過。
- Nm = 1,000 × 0.2 + 2,000 × 0.5 + 500 × 0.3 = 1,350 min⁻¹。
- 分子 = 800³ × 1,000 × 0.2 + 300³ × 2,000 × 0.5 + 1,500³ × 500 × 0.3 = 6.3565 × 10¹¹，分母 = 1,350，Fm = (4.708 × 10⁸)^(1/3) ≈ 778 N。
- 取 fw = 1.2：L = (5,660 / (778 × 1.2))³ × 10⁶ ≈ 2.23 × 10⁸ rev。
- Lt = 2.23 × 10⁸ / (60 × 1,350) ≈ 2,750 h；Ls ≈ 4,460 km。
計算結果是 2,750 h，離型錄參考的工業機械 10,000 h 還遠。反推需求：Ca ≥ (60 × Nm × Lt)^(1/3) × Fm × fw × 10⁻²。
| 目標壽命 Lt | 所需 Ca |
|---|---|
| 10,000 h | 約 8,700 N |
| 15,000 h | 約 9,960 N |
| 20,000 h | 約 10,960 N |
目標 10,000 h 就要把 Ca 從 5,660 N 提高到約 8,700 N，約 1.5 倍。選型時就是在尺寸表裡找 Ca 夠的軸徑與螺帽規格。
預壓也要同步算：型錄建議預壓約為最大軸向負荷的 1/3，且不超過 Ca 的 8%（B56）。本例 1,500 / 3 = 500 N，已超過 5,660 × 8% ≈ 453 N，所以上限卡在 453 N。這只是上限；型錄表 6.1（B61）另依用途給了建議範圍，搬運與機器人類用途是軸向間隙或 0.01 Ca 以下，換算約 57 N，這支螺桿實際上用不到那麼大的預壓。預壓選擇見預壓完全指南。預壓大不只讓摩擦和溫升變高，也縮短壽命。預壓量也不必追到上限，能滿足剛性與背隙需求就夠。
計算實例二：輕載的對照
同一支 PSS1520N1D0879，改用型錄選型例題設定的水平搬運工況（假設條件）：平均負荷 Fm = 195 N、平均轉速 Nm = 1,200 min⁻¹、fw = 1.2。
Lt = (5,660 / (195 × 1.2))³ × 10⁶ / (60 × 1,200) ≈ 196,500 h（計算結果）
與實例一相比，Fm 從 778 N 降到 195 N（約 1/4），壽命從 2,750 h 拉到 196,500 h，相差約 70 倍。其中約 64 倍來自負荷的三次方，其餘來自平均轉速較低（1,200 對 1,350 min⁻¹）。同一支螺桿，水平輕載時壽命遠超需求，換成高負荷工況就不夠用，選型不能只看螺桿規格，要看工況。
壽命不夠時怎麼調
壽命不足有三個調整方向，各有代價：
- 加大 Ca：換較粗的軸徑或增加鋼珠圈數的螺帽，壽命最直接，代價是慣量、價格與安裝空間。
- 降低負荷：減輕移動質量、降低加速度（拉長加減速時間），負荷降一成，壽命約多三成七，可以先動這一項。
- 加大導程：進給速度相同時，導程越大轉速越低，Lt = L / (60 × n) 的時數增加，Ls 也隨導程等比增加。但同一軸徑下 Ca 會隨導程不同，推力與解析度也會變，要回到尺寸表重新核對。
Ca 和 C0a 不要混用：前者管疲勞壽命，後者管永久變形，NSK 定義 C0a 為使鋼珠與滾道接觸點的永久變形總量達鋼珠直徑 0.01% 的軸向負荷。
疲勞壽命不是全部
公式算的是疲勞壽命，也就是滾動疲勞造成的剝離。NSK 把壽命分成兩類：疲勞壽命，與磨耗導致精度劣化的精度壽命。後者受潤滑、異物、使用條件影響很大，難以用公式估，型錄建議洽詢。
算出的疲勞壽命是 90% 可靠度的統計參考值，也就是一批相同螺桿中約有 10% 可能更早損壞，不保證實際使用年限。潤滑不良、異物進入、安裝誤差都會讓實際壽命低於計算值，沒有任何一項會在公式裡出現。潤滑選擇見滾珠螺桿潤滑指南：油脂選擇、K1 與補脂週期。
安裝誤差也吃壽命
力矩或徑向負荷會縮短壽命。NSK 精密級管控傾斜 1/2,000 以下（目標 1/5,000）、偏心 0.020 mm 以下。型錄的測試圖顯示，傾斜角越大，壽命比值下降越明顯。壽命不如預期時，除了查負荷，也要查對位。症狀與排查見失效排查。
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公式與係數出自 NSK 型錄 E3162：靜態負荷 B44–B46、壽命 B53–B55、預壓 B56 與 B61，實例取自 B-2-17 選型例題（B87–B95）。
常見問題
L10 壽命和實際壽命一樣嗎？
不一樣。公式算的是 90% 可靠度的疲勞壽命參考值，潤滑不良、異物造成的磨耗要另外評估。
負荷不確定怎麼辦？
fw 取偏保守的值，並用最大負荷驗挫曲與靜態。
精度會隨使用衰退嗎？
會。疲勞之外，磨耗也會讓精度退化，NSK 把它列為另一種壽命，評估請洽詢。
預壓會影響壽命嗎？
會。預壓過大，接觸應力和摩擦升高，壽命縮短。NSK 的上限準則是 Ca 的 8%，實際取值依剛性需求與溫升決定。
算完壽命，下一步看什麼？
轉速面要驗臨界轉速與 DN 值，見臨界轉速與 DN 值計算；整體流程見滾珠螺桿選型指南：直徑、導程、精度等級、支撐方式與臨界轉速。