滾珠螺桿導程與轉速：臨界轉速、DN 值計算實例
滾珠螺桿的進給速度，除了受馬達轉速與導程影響，還必須確認螺桿的臨界轉速及 DN 值。尤其長行程機構，即使馬達轉速夠、導程也選了 10 mm，算起來進給速度可以到 20 m/min，絲桿仍可能因共振或鋼珠循環機構的速度限制而無法達到預定進給速度。以下依 NSK 型錄 E3162 的公式，說明兩項轉速限制的計算方式，並以型錄型號 ZFT4010-10 為例驗算，包含正向（給定條件求允許轉速）和反向（給定轉速求需要的軸徑）兩種算法。
滾珠螺桿允許轉速：比較臨界轉速、DN 值與系列最高轉速
NSK 型錄的規則很直接：臨界轉速與 DN 值各算一次，取較小的那個。
- 臨界轉速：螺桿軸本身的自然頻率。轉速接近它時軸會共振，數值與軸徑、支撐間距、兩端支撐方式有關。
- DN 值：軸徑 d（mm）× 轉速 n（min⁻¹）。轉速太高，鋼珠撞擊循環零件的力道變大，這項限制看的是螺帽的循環結構，和軸有多長無關。
兩項都在範圍內，NSK 也另訂了最高轉速準則，超過時請與我們聯繫，我們來幫您確認。實際允許轉速須同時符合臨界轉速、DN 值，以及該系列型錄標示的最高轉速，三者取最小。實務上會先看轉速需求落在哪個區間：轉速不高但軸很長，通常卡在臨界轉速；軸短、轉速高，通常卡在 DN 值。
臨界轉速公式與支撐係數
NSK 型錄（E3162，B47）的公式 7）是由軸的自然頻率乘上安全係數 α = 0.8 而來，再把材料常數併進係數 f，換算成簡式如下：
nc = f × dr / L² × 10⁷
- nc：允許轉速（min⁻¹），已含 0.8 安全係數
- dr：螺桿軸牙底徑（mm），查型錄尺寸表，不是公稱軸徑
- L：兩支撐位置的距離（mm）
- f：依支撐條件決定的係數
| 支撐條件 | f |
|---|---|
| 固定－固定（Fixed-Fixed） | 21.9 |
| 固定－簡支（Fixed-Simple） | 15.1 |
| 簡支－簡支（Simple-Simple） | 9.7 |
| 固定－自由（Fixed-Free） | 3.4 |
係數依 NSK 型錄 E3162。
係數的差距很大：同樣的軸徑和長度，固定－固定的允許轉速是固定－簡支的 21.9 / 15.1，約 1.45 倍。兩端支撐方式怎麼配、軸承怎麼選，見滾珠螺桿支撐方式怎麼選：TAC 軸承配對與預壓。
L 的取法要留意。螺帽會沿軸移動，型錄的做法是取最不利的位置：螺帽在行程一端時，它與遠端軸承之間的那一段最長，就以這一段當 L。依型錄的圖例，臨界轉速的 L 和挫曲負荷的 L 有時不是同一段，因為兩者的邊界條件不同，不確定時請洽詢。
公式裡 L 是平方項，這點影響很大：同一支螺桿支撐間距拉長一倍，允許轉速掉到四分之一。軸徑則是一次方，牙底徑加大 20%，允許轉速只多 20%。所以轉速不夠時，縮短支撐間距比加粗軸徑有效。
DN 值上限
| 螺帽循環方式 | 允許 DN 值 | 最高轉速準則（min⁻¹） |
|---|---|---|
| 管式循環（Tube） | 70,000 以下 | 3,000 |
| 橋式／偏轉式（Deflector） | 84,000 以下 | 3,000 |
| 端蓋式（End-deflector） | 180,000 以下 | 5,000 |
| SRC 循環 | 160,000 以下 | 5,000 |
高速型號的 DN 值另有規定，實際以型錄各系列頁為準。DN 值上限換算成轉速很直觀：軸徑 40 mm 的管式循環螺桿，n ≤ 70,000 / 40 = 1,750 min⁻¹；軸徑換成 32 mm，上限升到 2,187 min⁻¹。軸徑越粗，DN 值允許的轉速越低，這和臨界轉速的趨勢相反，所以兩項限制常常互相拉扯。
計算實例一：NSK 型錄 ZFT4010-10
條件取自 NSK 型錄例題：軸徑 d = 40 mm，導程 10 mm，牙底徑 dr = 34.4 mm，支撐間距 L = 2,000 mm，固定－簡支。ZFT 為管式循環，DN 上限取 70,000。
第一步，臨界轉速。 固定－簡支，f = 15.1：
nc = 15.1 × 34.4 / 2,000² × 10⁷ = 519.44 / 4,000,000 × 10⁷ ≈ 1,298.6 min⁻¹
型錄往下取到十位，寫作 1,290 min⁻¹ 以下（B49）。
第二步，DN 值。 n ≤ 70,000 / 40 = 1,750 min⁻¹。
第三步，取小值。 1,290 與 1,750 取小，允許轉速為 1,290 min⁻¹。導程 10 mm 時，進給速度上限約 1,290 × 10 / 1,000 = 12.9 m/min。
想跑 20 m/min，馬達要 2,000 min⁻¹，兩項都超標。改幾個條件重算：
| 條件 | 臨界轉速 (min⁻¹) | DN 上限轉速 (min⁻¹) | 允許轉速 | 進給上限 (m/min) |
|---|---|---|---|---|
| 固定－簡支，L = 2,000 | 1,299 | 1,750 | 1,290（型錄取值） | 約 12.9 |
| 固定－固定，L = 2,000 | 1,883 | 1,750 | 1,750 | 17.5 |
| 固定－固定，L = 1,500 | 3,348 | 1,750 | 1,750 | 17.5 |
改成固定－固定後臨界轉速從 1,299 升到 1,883，這時換成 DN 值卡住。縮短到 1,500 mm 也沒用，DN 值已是瓶頸。要真的到 20 m/min，得換 DN 上限更高的螺帽型式，或改用較大導程、較小軸徑的組合。兩條路都牽動額定負荷與剛性，
臨界轉速和 DN 值的交叉點
同一支 ZFT4010-10，把支撐間距從短到長掃一遍，可以看出哪個限制先出手：
| L (mm) | 固定－固定 nc (min⁻¹) | 固定－簡支 nc (min⁻¹) |
|---|---|---|
| 1,000 | 7,534 | 5,194 |
| 1,500 | 3,348 | 2,309 |
| 2,000 | 1,883 | 1,299 |
| 2,500 | 1,205 | 831 |
| 3,000 | 837 | 577 |
DN 值對應的轉速是 1,750 min⁻¹。令 nc = 1,750 反推，固定－固定的交叉點在 L ≈ 2,075 mm，固定－簡支約 1,723 mm。支撐間距比交叉點短，瓶頸是 DN 值，再縮短也不會更快；比交叉點長，才是臨界轉速說了算。這個判斷能省掉很多無謂的設計修改：L 已經在交叉點以下，就別再花力氣縮短軸長，要提速得從螺帽型式和軸徑下手。
另外，表中 L = 1,000 的臨界轉速（7,534）只是臨界轉速這一項的數字，不代表可以開到那麼快：這支管式螺帽的實際上限仍是 DN 值換算的 1,750 min⁻¹；即使換成 DN 上限較高的螺帽，還有表 3.2 的最高轉速準則（管式 3,000 min⁻¹）擋著。
計算實例二：給定轉速，反推需要的牙底徑
選型時更常見的是反過來算。NSK 型錄的第二個選型例題：工作台快速進給 15,000 mm/min，馬達最高 2,000 min⁻¹，行程 1,000 mm，支撐間距 L = 1,300 mm，固定－固定（f = 21.9）。
先算導程下限：l ≥ 15,000 / 2,000 = 7.5 mm，考慮控制解析度後候選為 8 mm 與 10 mm。再逐一換算：
| 導程 | 需要的轉速 n (min⁻¹) | 臨界轉速要求 dr ≥ n × L² / (f × 10⁷) | DN 值要求 d ≤ 70,000 / n |
|---|---|---|---|
| 8 mm | 15,000 / 8 = 1,875 | 1,875 × 1,300² / (21.9 × 10⁷) ≈ 14.5 mm | ≤ 37.3 mm |
| 10 mm | 15,000 / 10 = 1,500 | 1,500 × 1,300² / (21.9 × 10⁷) ≈ 11.6 mm | ≤ 46.7 mm |
這兩列的數字跟 NSK 例題（B93）的結果一致。意思是：導程 10 mm 時，牙底徑只要超過 11.6 mm 就過關，軸徑上限 46.7 mm；導程改 8 mm，轉速變高，牙底徑要 14.5 mm 以上，軸徑不能超過 37.3 mm。NSK 例題最後因為重視剛性而選了較粗的軸徑（32 到 50 mm 區間），再用剛性與壽命逐項收斂，最後定案 ZFT4010-10。定案後型錄再驗一次轉速，這次的 L 改用螺帽走到行程端時的長度 1,200 mm：臨界轉速 = 21.9 × 34.4 / 1,200² × 10⁷ ≈ 5,230 min⁻¹，DN 值 = 40 × 1,500 = 60,000，兩項都在範圍內（B95）。
先由進給速度定導程，再由導程得轉速，最後用兩個不等式夾出可用的軸徑範圍。軸徑落在範圍內，才有資格往下檢查負荷與滾珠螺桿壽命怎麼算：軸向負荷、Ca 與計算實例。整個選型的位置見滾珠螺桿選型指南：直徑、導程、精度等級、支撐方式與臨界轉速。
導程怎麼配轉速
進給速度 v = 導程 l × 轉速 n。
| 轉速 (min⁻¹) | 導程 5 mm | 導程 10 mm | 導程 20 mm |
|---|---|---|---|
| 1,000 | 5 m/min | 10 m/min | 20 m/min |
| 1,500 | 7.5 m/min | 15 m/min | 30 m/min |
| 2,000 | 10 m/min | 20 m/min | 40 m/min |
| 3,000 | 15 m/min | 30 m/min | 60 m/min |
導程大，同轉速下進給快，但同樣的馬達扭矩換到的推力小，解析度也變粗。反過來，導程小就要靠轉速換進給，臨界轉速和 DN 值先到頂。取捨的原則是：高速搬運選大導程；高精密定位、需要細解析度或大推力的場合，導程維持小，轉速需求靠縮短支撐間距或兩端固定去補。
超過上限時的對策
臨界轉速不夠，依序是：縮短 L、把固定－簡支改成固定－固定、加大軸徑（dr 變大）。長軸再不夠，才考慮中間支撐或旋轉螺帽。NSK 型錄提到，旋轉螺帽式可以加裝制振裝置來超越臨界轉速，屬於特殊設計，請洽詢。DN 值卡住時，選用 DN 上限較高的螺帽循環型式，是最直接的做法。
轉速高也會帶來溫升。NSK 型錄建議高轉速、高精度場合避免過度預壓、選用適當潤滑，並以較大導程降低轉速，細節見預壓完全指南。
算出來的轉速卡在上限附近，把行程、導程和目標速度填進詢價表單，我們幫您一起調整導程或支撐方式。拿順是 NSK 台灣代理；也可先看 NSK 螺桿列表、PSS1520N1D0879、NSK 支撐軸承箱 WBK08-01A，以及同機構常用的 NSK 線性滑軌（線軌、線性導軌）NH15AN。
公式與係數出自 NSK 型錄 Precision Machine Components（E3162）的 B-2-3 節（B47–B50）、B-2-4 支撐圖例（B51–B52）與 B-2-17 選型例題（B87–B96）。
FAQ
臨界轉速要不要再乘安全係數？
NSK 的簡式 f 值已含 0.8，直接用即可，再乘一次是重複折減。若用的是教科書上未含安全係數的理論公式，或其他來源的係數表，要先確認係數裡有沒有含 0.8。
DN 值上限是用軸徑還是節圓直徑？
NSK 型錄（B50）的 d·n 用的是軸徑 d（mm）。有些型錄改用鋼珠節圓徑計算，基準不同，數字不能混用。
轉速一定要低於臨界轉速嗎？
一般設計是。要超過，NSK 型錄提到旋轉螺帽搭配制振裝置等做法，屬於特殊設計，請洽詢。
換成固定－固定，轉速就一定提升嗎？
臨界轉速會提升，但 DN 值上限與最高轉速準則不會變。實例一顯示，換支撐後瓶頸可能從臨界轉速轉到 DN 值。另外兩端固定的安裝對位和熱伸長要一併考慮。
算出來剛好卡在上限，怎麼辦？
建議留餘裕。NSK 的 f 值已內含 0.8，但實際的支撐剛性與對位誤差仍會影響結果，上限附近的設計沒有緩衝。